Question

9．如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE=2$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，BC=6，则⊙O的半径是（　　）

• A． 3
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 延长EC交圆于点F，连接DF．则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径．根据射影定理先求直径，再得半径．

解答 解：延长EC交圆于点F，连接DF，
则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
∴DE=4，
在直角△ADF中，根据射影定理，得
EF=$\frac{{DE}^{2}}{AE}$=4$\sqrt{2}$，
根据勾股定理，得DF=$\sqrt{{EF}^{2}{+DE}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
则圆的半径是2$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 此题主要考查了切线的性质，能够通过作辅助线，把直径构造到直角三角形中，熟练运用相似三角形的性质、圆周角定理的推论以及射影定理和勾股定理是解答此题的关键．