Question

17．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（-1，-1）和点B（1，-3）．求：
（1）直接写出一次函数的表达式y=-x-2；
（2）直接写出直线AB与坐标轴围成的三角形的面积2；
（3）请在x轴上找到一点P，使得PA+PB最小，并求出P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点代入可求得k、b的值，可得到一次函数的表达式；
（2）分别令y=0、x=0可求得直线与两坐标轴的两交点坐标，可求得所围成的三角形的面积；
（3）根据轴对称的性质，找到点A关于x的对称点A′，连接BA′，则BA′与x轴的交点即为点P的位置，求出直线BA′的解析式，可得出点P的坐标．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（-1，-1）和点B（1，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-1}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数为y=-x-2； 

（2）在y=-x-2中，分别令x=0、y=0，
可求得一次函数与两坐标轴的交点坐标分别为（0，-2）、（-2，0），
∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S=$\frac{1}{2}$×2×2=2；

（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′与x轴 的交点即为点P．
设直线BA′的解析式为y=mx+n，
将点A′（-1，1）和点B（1，-3）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=1}\\{m+n=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
故直线BA′的解析式为y=-2x-1，
令y=0，可得-2x-1=0，
解得：x=-$\frac{1}{2}$，
故点P的坐标为（-$\frac{1}{2}$，0）．
故答案为y=-x-2；2．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，掌握待定系数法的应用是解题的关键．