Question

10．阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\frac{1×（\sqrt{5}-\sqrt{4}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{4}）（\sqrt{5}-\sqrt{4）}}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{4}）^{2}}$=$\sqrt{5}$$-\sqrt{4}$
$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\frac{1×（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}{（\sqrt{6}+\sqrt{5}）（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{6}$$-\sqrt{5}$
请解下列问题：
（1）根据上面的解答过程，写出$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}$的解答过程；
（2）根据上面的规律，请直接写出$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（3）利用上面的解法，请化简：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}$+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$；
（4）你能根据上面的知识化简$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$吗？若能，请写出化简过程．

Answer 1

分析 （1）把分子分母都乘以（$\sqrt{2014}$-$\sqrt{2013}$），然后利用平方差公式计算即可；
（2）利用前面的计算结果可得到两相邻非负整数的算术平方根的和的倒数等于它们的算术平方根的差；
（3）利用（2）中的规律易得原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{99}$-$\sqrt{98}$+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$，然后合并即可；
（4）把分子分母都乘以$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$，然后利用平方差公式计算．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}$=$\frac{1×（\sqrt{2014}-\sqrt{2013}）}{（\sqrt{2014}+\sqrt{2013}）（\sqrt{2014}-\sqrt{2013}）}$=$\frac{\sqrt{2014}-\sqrt{2013}}{（\sqrt{2014}）^{2}-（\sqrt{2013}）^{2}}$=$\sqrt{2014}$-$\sqrt{2013}$；
（2）$\frac{1×（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（3）原式=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}}$+$\frac{1}{\sqrt{100}-\sqrt{99}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{99}$-$\sqrt{98}$+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$
=$\sqrt{100}$-1
=10-1
=9；
（4）$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$=$\frac{1×（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}{（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}$=$\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}）^{2}-（\sqrt{n}）^{2}}$=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$．

点评 本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．