Question

18．正方形ABCD中，点C为线段EF的中点，连接AE、BF交于M，当AE⊥BF，∠BFE=45°，BE=10，则DF的长为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）作CG⊥BF于G，连接CM．只要证明△MCF，△MCG，△GCF都是等腰直角三角形，由△ABM≌△BCG，推出BM=CG=GM=GF，AM=BG，由ME=MF=BG，推出AM=ME，由BM⊥AE，推出AB=BE=10，设BM=x，则AM=2x，在Rt△ABM中，根据AB²=AM²+BM²，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，作CG⊥BF于G，连接CM．

∵AE⊥BF，
∴∠EMF=90°，∵CE=CF，
∴CM=CF=CE，
∵∠CGF=90°，∠CFG=45°，
∴∠CMF=∠CFM=45°，
∴∠MCF=∠BCD=90°，
∴∠BCM=∠DCF，CG=GM=GF，
∵CB=CD，CM=CF，
∴△BCM≌△DCF，
∴BM=DF，
易证△ABM≌△BCG，
∴BM=CG=GM=GF，AM=BG，
∵ME=MF=BG，
∴AM=ME，∵BM⊥AE，
∴AB=BE=10，
设BM=x，则AM=2x，
在Rt△ABM中，∵AB²=AM²+BM²，
∴10²=x²+（2x）²，
∴x=2$\sqrt{5}$，
∴DF=AM=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．