Question

13．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始，沿AB边以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以2cm/s的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P、Q分别从A、B两点同时出发．
（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm²？
（2）几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）设t秒后△PBQ的面积等于8cm，此时，AP=t，BP=6-t，BQ=2t，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP=x，BP=6-x，BQ=2x，再分△BPQ∽△BAC与△BPQ∽△BCA两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）设t秒后△PBQ的面积等于8cm，此时，AP=t，BP=6-t，BQ=2t，
∵S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP•BQ，即$\frac{1}{2}$（6-t）×2t=8，即t2+6t+8=0，解得t₁=2，t₂=4．
∴2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm²；

（2）设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP=x，BP=6-x，BQ=2x，
①若△BPQ∽△BAC，则$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{6-x}{6}$=$\frac{2x}{12}$，解得x=3；
②若△BPQ∽△BCA，则$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{6-x}{12}$=$\frac{2x}{6}$，解得x=1.2．
综上所述，1.2秒或3秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．