题目内容
13．
如图，在平面直角坐标系中，△CDE的顶点C点坐标为C（1，-2），点D的横坐标为$\frac{19}{5}$，将△CDE绕点C旋转到△CBO，点D的对应点B在x轴上．抛物线y=ax2+bx+c以点C为顶点，且经过点B，它与x轴的另一个交点为点A．（1）图中，∠OCE=∠BCD；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P，使S△PAE=$\frac{1}{2}$S△CDE？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据旋转的性质易得∠OCE=∠BCD；
（2）作CH⊥OE于H，如图，根据旋转的性质得CO=CE，CB=CD，OB=DE，则利用等腰三角形的性质得OH=HE=1，则E点坐标为（2，0），设B（m，0），D（$\frac{19}{5}$，n），利用两点间的距离公式得CD2=（1-$\frac{19}{5}$）2+（-2-n）2，CB2=（1-m）2+22，DE2=（2-$\frac{19}{5}$）2+n2，所以（1-$\frac{19}{5}$）2+（-2-n）2=（1-m）2+22，（2-$\frac{19}{5}$）2+n2=m2，解关于m、n的方程组得到m=3，n=-$\frac{12}{5}$，则B（3，0），然后设顶点式y=a（x-1）2-2，再把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（3）先利用抛物线的对称性得到A（-1，0），再根据旋转的性质得△CDE≌△CBO，则S△CDE=S△CBO=3，设P（t，$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$|=$\frac{1}{2}$•3，则$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=1或$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=-1，然后分别解关于t的一元二次方程求出t，从而可得到满足条件的P点坐标．
解答 解：（1）∵△CDE绕点C旋转到△CBO，
∴∠OCE=∠BCD；
故答案为BCD；
（2）作CH⊥OE于H，如图，
∵△CDE绕点C旋转到△CBO，
∴CO=CE，CB=CD，OB=DE，
∴OH=HE=1，
∴OE=2，
∴E点坐标为（2，0），
设B（m，0），D（$\frac{19}{5}$，n），
∵CD2=（1-$\frac{19}{5}$）2+（-2-n）2，CB2=（1-m）2+22，DE2=（2-$\frac{19}{5}$）2+n2，
∴（1-$\frac{19}{5}$）2+（-2-n）2=（1-m）2+22，（2-$\frac{19}{5}$）2+n2=m2，
∴m=3，n=-$\frac{12}{5}$，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，
把B（3，0）代入得4a-2=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）2-2，即y=$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$；
（3）存在．
A与点B关于直线x=1对称，
∴A（-1，0），
∵△CDE绕点C旋转到△CBO，
∴△CDE≌△CBO，
∴S△CDE=S△CBO=$\frac{1}{2}$•2•3=3，
设P（t，$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$），
∵S△PAE=$\frac{1}{2}$S△CDE，
∴$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$|=$\frac{1}{2}$•3，
∴$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=1或$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=-1，
解方程$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=1得t1=1+$\sqrt{6}$，t2=1-$\sqrt{6}$，此时P点坐标为（1+$\sqrt{6}$，1）或（1-$\sqrt{6}$，1）；
解方程$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=-1得t1=1+$\sqrt{2}$，t2=1-$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（1+$\sqrt{2}$，-1）或（1-$\sqrt{2}$，-1）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（1+$\sqrt{6}$，1）或（1-$\sqrt{6}$，1）或（1+$\sqrt{2}$，-1）或（1-$\sqrt{2}$，-1）．
点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
名校课堂系列答案
如图，二次函数y=-x2-2x的图象与x轴交于点A，O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，则点P的坐标是（1，-3）或（-3，-3）．
如图，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且满足$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，则S△ABC：S△EFD=25：6．| n=1 | a1=$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$ | b1=$\sqrt{3}$+2 | c1=1+2$\sqrt{2}$ |
| n=2 | a2=b1+2c1 | b2=c1+2a1 | c2=a1+2b1 |
| n=3 | a3=b2+2c2 | b3=c2+2a2 | c3=a2+2b2 |
| … | … | … | … |
（2）满足$\frac{{{a_n}+{b_n}+{c_n}}}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}≥81（\sqrt{3}-\sqrt{2}+1）$的n可以取得的最小正整数是4．
如图，AC=AD，线段AB经过线段CD的中点E，求证：BC=BD．
如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
如图，四边形OABC放置在平面直角坐标系中，AB∥CO，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，反比例函数y=$\frac{k}{x}（{k＞0，x＞0}）$的图象经过AB的中点D，并且与CB交于点E，已知$\frac{CE}{CB}=\frac{1}{3}，OC=\frac{7}{2}$．则AB的长等于（ ）