Question

1．读取表格中的信息，解决问题：

n=1	a1=$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$	b1=$\sqrt{3}$+2	c1=1+2$\sqrt{2}$
n=2	a2=b1+2c1	b2=c1+2a1	c2=a1+2b1
n=3	a3=b2+2c2	b3=c2+2a2	c3=a2+2b2
…	…	…	…

（1）计算：a₁+b₁+c₁=3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{3}$+3；
（2）满足$\frac{{{a_n}+{b_n}+{c_n}}}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}≥81（\sqrt{3}-\sqrt{2}+1）$的n可以取得的最小正整数是4．

Answer 1

分析 （1）根据表格中的数据确定出a₁+b₁+c₁的值即可；
（2）根据表格中数据得出a_n+b_n+c_n=3^n-1（a₁+b₁+c₁）=3ⁿ（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$+1），代入不等式计算可得n的取值范围．

解答 解：（1）根据表格中的数据得：a₁+b₁+c₁=$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$+2+1+2$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{3}$+3；
（2）∵a₂+b₂+c₂=b₁+2c₁+c₁+2a₁+a₁+2b₁=3（a₁+b₁+c₁），
a₃+b₃+c₃=b₂+2c₂+c₂+2a₂+a₂+2b₂=3（a₂+b₂+c₂）=3²（a₁+b₁+c₁），
…
∴a_n+b_n+c_n=3^n-1（a₁+b₁+c₁）=3^n-1（3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{3}$+3）=3ⁿ（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$+1），
又∵$\frac{{{a_n}+{b_n}+{c_n}}}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}≥81（\sqrt{3}-\sqrt{2}+1）$，
∴$\frac{{3}^{n}（\sqrt{3}+\sqrt{2}+1）}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$≥81（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+1）
解得：n≥4，
∴n可以取得最小正整数是4，
故答案为：（1）3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{3}$+3；（2）4．

点评 本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，根据表格数据发现a_n+b_n+c_n的规律是关键．