题目内容

15．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（$\sqrt{3}$，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=$\frac{1}{2}$S△AOB，求点P的坐标；
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．

分析 （1）将点A（$\sqrt{3}$，1）代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（$\sqrt{3}$，-3），计算求出S△AOB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×4=2$\sqrt{3}$．则S△AOP=$\frac{1}{2}$S△AOB=$\sqrt{3}$．设点P的坐标为（m，0），列出方程求解即可；
（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（-$\sqrt{3}$，-1），即可求解．

解答 解：（1）∵点A（$\sqrt{3}$，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）∵A（$\sqrt{3}$，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC=$\sqrt{3}$，AC=1，
由射影定理得OC2=AC•BC，可得BC=3，B（$\sqrt{3}$，-3），
S△AOB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×4=2$\sqrt{3}$．
∴S△AOP=$\frac{1}{2}$S△AOB=$\sqrt{3}$．
设点P的坐标为（m，0），
∴$\frac{1}{2}$×|m|×1=$\sqrt{3}$，
∴|m|=2$\sqrt{3}$，
∵P是x轴的负半轴上的点，
∴m=-2$\sqrt{3}$，
∴点P的坐标为（-2$\sqrt{3}$，0）；

（3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下：
∵OA⊥OB，OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，AB=4，
∴sin∠ABO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABO=30°，
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，
∴BO=BD=2$\sqrt{3}$，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，
而BD-OC=$\sqrt{3}$，BC-DE=1，
∴E（-$\sqrt{3}$，-1），
∵-$\sqrt{3}$×（-1）=$\sqrt{3}$，
∴点E在该反比例函数的图象上．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，旋转的性质，正确求出解析式是解题的关键．

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