Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c是常数）经过A（0，2）、B（4，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这条抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（1）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点D的所有坐标（直接写出结果，不必写解答过程）

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；抛物线的顶点坐标为（，）；（2）t=2时，MN有最大值，最大值为4；（3）D点坐标为（0，6）或（0，﹣2）或（4，4）．

【解析】分析：（1）把A、B两点坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c得关于b、c方程组，则解方程组即可得到抛物线解析式；然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；

（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+2，设N（t，﹣t2+t+2）（0＜t＜4），则N（t，﹣t+2），则MN=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2），然后利用二次函数的性质解决问题；

（3）由（2）得N（2，5），M（2，1），如图，利用平行四边形的性质进行讨论：当MN为平行四边形的边时，利用MN∥AD，MN=AD=4和确定定义D点坐标，当MN为平行四边形的对角线时，利用AN∥MN，AN=MD和点平移的坐标规律写出对应D点坐标．

详解：（1）把A（0，2）、B（4，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为（）；

（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，把A（0，2）、B（4，0）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y=﹣x+2，设N（t，﹣t2+t+2）（0＜t＜4），则N（t，﹣t+2），∴MN=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+4t =﹣（t﹣2）2+4，

当t=2时，MN有最大值，最大值为4；

（3）由（2）得N（2，5），M（2，1），如图，当MN为平行四边形的边时，MN∥AD，MN=AD=4，则D1（0，6），D2（0，﹣2），当MN为平行四边形的对角线时，AN∥MN，AN=MD，由于点A向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到N点，则点M向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到D点，则D3的坐标为（4，4）．

综上所述：D点坐标为（0，6）或（0，﹣2）或（4，4）．