Question

14．函数y=$\frac{4}{x}$和y=$\frac{1}{x}$在第一象限内的图象如图所示，点P是y=$\frac{4}{x}$的图象上一动点，作PC⊥x轴于点C，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点A，作PD⊥y轴于点D，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点B，给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④PA=3AC，其中正确的结论序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 设点P的坐标为（m，$\frac{4}{m}$）（m＞0），则A（m，$\frac{1}{m}$），C（m，0），B（$\frac{m}{4}$，$\frac{4}{m}$），D（0，$\frac{4}{m}$）．①根据反比例函数系数k的几何意义即可得出S_△ODB=S_△OCA，该结论正确；②由点的坐标可找出PA=$\frac{3}{m}$，PB=$\frac{3m}{4}$，由此可得出只有m=2是PA=PB，该结论不成；③利用分割图形法求图形面积结合反比例系数k的几何意义即可得知该结论成立；④结合点的坐标即可找出PA=$\frac{3}{m}$，AC=$\frac{1}{m}$，由此可得出该结论成立．综上即可得出正确的结论为①③④．

解答 解：设点P的坐标为（m，$\frac{4}{m}$）（m＞0），则A（m，$\frac{1}{m}$），C（m，0），B（$\frac{m}{4}$，$\frac{4}{m}$），D（0，$\frac{4}{m}$）．
①S_△ODB=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，S_△OCA=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
∴△ODB与△OCA的面积相等，①成立；
②PA=$\frac{4}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{3}{m}$，PB=m-$\frac{m}{4}$=$\frac{3m}{4}$，
令PA=PB，即$\frac{3}{m}$=$\frac{3m}{4}$，
解得：m=2．
∴当m=2时，PA=PB，②不正确；
③S_{四边形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△ODB-S_△OCA=4-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=3．
∴四边形PAOB的面积大小不会发生变化，③正确；
④∵PA=$\frac{4}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{3}{m}$，AC=$\frac{1}{m}$-0=$\frac{1}{m}$，
∵$\frac{3}{m}$=3×$\frac{1}{m}$，
∴PA=3AC，④正确．
综上可知：正确的结论有①③④．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及利用分割图形法求图形面积，解题的关键是找出各点坐标再结合反比例函数系数k的几何意义逐项分析各结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出各点的坐标是关键．