Question

4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=6，sin∠P=$\frac{2}{5}$，求AB的值．

Answer 1

分析 （1）根据∠1=∠C及圆周角定理可得出∠1=∠P，由此可得出结论；
（2）连接AC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由垂径定理得出$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，故可得出∠P=∠CAB，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠1=∠C，∠C=∠P，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD．

（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CD⊥AB，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠P=∠CAB，
∴sin∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{5}$．
∵BC=6，
∴AB=15．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．