Question

7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O．DE⊥AB于点E．连接OE．
（1）求证：∠OED=∠ACD；
（2）若AC=8，DB=6，求DH的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，易得点A，E，O，D共圆，然后由圆周角定理，证得∠OED=∠CAD，继而证得∠OED=∠ACD；
（2）由AC=8，DB=6，利用菱形的面积，可求得DE的长，然后由△AEH∽△AOB，求得EH的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=CD，
∴∠DAC=∠ACD，
∵DE⊥AB，
∴∠AOD=∠AED=90°，
∴点A，E，O，D共圆，
∵∠OED=∠CAD，
∴∠OED=∠ACD；

（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=$\frac{1}{2}$DB=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∵S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=AB•DE，
∴DE=$\frac{\frac{1}{2}AC•BD}{AB}$=$\frac{24}{5}$；
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∵∠AEH=∠AOB=90°，∠EAH=∠OAB，
∴△AEH∽△AOB，
∴AE：AO=EH：OB，
∴$\frac{7}{5}$：4=EH：3，
解得：EH=$\frac{21}{20}$，
∴DH=DE-EH=$\frac{15}{4}$．

点评 此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意证得点A，E，O，D共圆与△AEH∽△AOB是解此题的关键．