Question

12．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．
（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
（2）求EF的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，易得△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），则可证得结论；
（2）由△BDE≌△BCF，易证得△BEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点D或点A时，BE的最大，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小．

解答 解：（1）BE=BF，证明如下：
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，
∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，
∵AE+CF=4，
∴CF=4-AE=AD-AE=DE，
又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，
在△BDE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠BDE=∠C}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴BE=BF；

（2）∵△BDE≌△BCF，
∴∠EBD=∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
又∵BE=BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF=BE=BF，
当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，
当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为$2\sqrt{3}$，
∵EF=BE，
∴EF的最大值为4，最小值为$2\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△BDE≌△BCF是解此题的关键．