Question

6．如图，△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=1．以OB为直角边向外作等腰直角三角形OBB₁，以OB₁为直角边向外作等腰直角三角形OB₁B₂，以OB₂为直角边向外作等腰直角三角形OB₂B₃，…，连接AB₁，BB₂，B₁B₃，…，分别与OB，OB₁，OB₂，…交于点C₁，C₂，C₃，…，按此规律继续下去，△ABC₁的面积记为S₁，△BB₁C₂的面积记为S₂，△B₁B₂C₃的面积记为S₃，…，则S₂₀₁₇=$\frac{1}{3}$×2²⁰¹⁵．．

Answer 1

分析 求出S₁，S₂，S₃，S₄，探究规律后，利用规律即可解决问题．

解答 解：∵AB∥OB₁，
∴$\frac{AB}{O{B}_{1}}$=$\frac{B{C}_{1}}{O{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴S₁=$\frac{1}{3}$S_△AOB=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$，
易知${S}_{△OB{B}_{1}}$=1，S₂=$\frac{1}{3}$${S}_{△OB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，S₃=$\frac{1}{3}$×2，S₄=$\frac{1}{3}$×2²，…S_n=$\frac{1}{3}$×2^n-2，
∴S₂₀₁₇=$\frac{1}{3}$×2²⁰¹⁵．
故答案为$\frac{1}{3}$×2²⁰¹⁵．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、规律型问题等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，学会利用规律解决问题．