Question

1．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠DAO=∠PAO，求AP的长．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AD=BC=8，∠BAD=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，由勾股定理求出BD=10，得出OA=OD=$\frac{1}{2}$BD=5，∠DAO=∠ADO，证出∠ADO=∠PAO=∠DAO，由角平分线定理得出$\frac{OP}{OD}=\frac{AP}{AD}$，求出$\frac{OP}{AP}=\frac{OD}{AD}$=$\frac{5}{8}$，设AP=8x，则OP=5x，证明△AOP∽△DAP，得出$\frac{AP}{PD}=\frac{OP}{AP}$，即$\frac{8x}{5x+5}=\frac{5x}{8x}$=$\frac{5}{8}$，求出x=$\frac{25}{39}$，得出AP═$\frac{200}{39}$即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，∠BAD=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，OA=OD=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴∠DAO=∠ADO，
∵∠DAO=∠PAO，
∴∠ADO=∠PAO=∠DAO，
∴$\frac{OP}{OD}=\frac{AP}{AD}$，
∴$\frac{OP}{AP}=\frac{OD}{AD}$=$\frac{5}{8}$，
设AP=8x，则OP=5x，
又∵∠APO=∠DPA，
∴△AOP∽△DAP，
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{OP}{AP}$，即$\frac{8x}{5x+5}=\frac{5x}{8x}$=$\frac{5}{8}$，
解得：x=$\frac{25}{39}$，
∴AP=8×$\frac{25}{39}$=$\frac{200}{39}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．