Question

3．如图，长方形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．
（1）求AE的长；
（2）点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，CP=AE；
②当t为何值时，△PAE是以AE为腰的等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由长方形ABCD中，AB=9，CE=6，可求得DE的长，又由AD=4，利用勾股定理即可求得AE的长；
（2）①首先利用勾股定理，可求得CP=$\sqrt{B{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{16{+t}^{2}}$，又由CP=AE，可得方程$\sqrt{16+{t}^{2}}$=5，继而求得答案；
②分别从AE=AP与AE=PE去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=9，BC=AD=4，∠D=90°，
∵CE=6，
∴DE=CD-CE=3，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=5；

（2）①根据题意得：BP=t，
∴CP=$\sqrt{B{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{16{+t}^{2}}$，
∵CP=AE，
∴$\sqrt{16+{t}^{2}}$=5，
解得：t=3；
②若AP=AE=5，
∴BP=AB-AP=9-5=4，
∴t=4；
若PE=AE=5，则过点E作EF⊥AB于点F，
则四边形ADEF是矩形，
∴PF=AF=DE=3，
∴AP=AF+PF=6，
∴t=BP=AB-AP=3．
综上所述，当t=3或t=4时，△PAE是以AE为腰的等腰三角形．

点评 此题考查了矩形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．