Question

已知不等式ax²-2x-a+1＜0，当-2≤a≤2时恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：令y=ax²-2x-a+1=（x²-1）a+（-2x+1），由于当x=1时，y＜0；当x=-1时，y＞0，所以x=1满足条件；若x≠±1时，y是关于a的一次函数，根据一次函数的性质得到-2（x²-1）+（-2x+1）＜0且2（x²-1）+（-2x+1）＜0，整理得2x²+2x-3＞0且2x²-2x-1＜0，然后根据抛物线与x轴的交点问题解两个不等式，再写出它们的公共部分，于是可确定满足条件的x的取值范围．

解答：解：设y=ax²-2x-a+1=（x²-1）a+（-2x+1），
当x=1时，y＜0；当x=-1时，y＞0，
若x≠±1时，y是关于a的一次函数，
因为-2≤a≤2时，y＜0，
所以-2（x²-1）+（-2x+1）＜0且2（x²-1）+（-2x+1）＜0，
对于-2（x²-1）+（-2x+1）＜0整理得2x²+2x-3＞0，解方程2x²+2x-3=0得x₁=

-1+ 7

2

，x₂=

-1- 7

2

，所以2x²+2x-3＞0的解集为x＞

-1+ 7

2

或x＜

-1- 7

2

；
对于2（x²-1）+（-2x+1）＜0整理得2x²-2x-1＜0，解方程2x²-2x-1=0得x₁=

1+ 3

2

，x₂=

1- 3

2

，所以2x²-2x-1＜0的解集为

1- 3

2

＜x＜

1+ 3

2

，
所以

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

或x=-1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．