Question

17．如图1，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C为x轴上一点，且AC平分∠OAB．
（1）求证：∠OAC=∠OCA；
（2）如图2，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于P点，及满足∠POC=$\frac{1}{3}$∠AOC，∠PCE=$\frac{1}{3}$∠ACE，求∠P的大小；
（3）如图3，在（2）中，若射线OP、CP满足∠POC=$\frac{1}{n}$∠AOC，∠PCE=$\frac{1}{n}$∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；
（2）根据题干中给出的∠POC=$\frac{1}{3}$∠AOC、∠PCE=$\frac{1}{3}$∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；
（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=$\frac{1}{n}$∠AOC、∠PCE=$\frac{1}{n}$∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．

解答 解：（1）∵A（0，1），B（4，1），
∴AB∥CO，
∴∠OAB=90°，
∵AC平分∠OAB．
∴∠OAC=45°，
∴∠OCA=90°-45°=45°，
∴∠OAC=∠OCA；
（2）∵∠POC=$\frac{1}{3}$∠AOC，∴∠POC=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
∵∠PCE=$\frac{1}{3}$∠ACE，∴∠PCE=$\frac{1}{3}$（180°-45°）=45°，
∵∠P+∠POC=∠PCE，
∴∠P=∠PCE-∠POC=15°；
（3）∵∠POC=$\frac{1}{n}$∠AOC，∴∠POC=$\frac{1}{n}$×90°=$\frac{90}{n}$°，
∵∠PCE=$\frac{1}{n}$∠ACE，∴∠PCE=$\frac{1}{n}$（180°-45°）=$\frac{135}{n}$°，
∵∠P+∠POC=∠PCE，
∴∠P=∠PCE-∠POC=$\frac{45}{n}$°．

点评 本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．