Question

12．如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，AC平分∠BAD，E是AB延长线上一点，且CE⊥AE，CF⊥AD．
（1）求证：BE=DF；
（2）试探究线段AB、AD、AF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质可得到CE=CF，根据余角的性质可得到∠EBC=∠D，已知CE⊥AB，CF⊥AD，从而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF即可解决问题；
（2）已知EC=CF，AC=AC，则根据HL判定△ACE≌△ACF得AE=AF，最后证得AB+AD=2AF即可．

解答 （1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD
∴CE=CF
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠EBC=180°
∴∠EBC=∠D
∵∠CEB=∠CFD=90°
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF．

（2）解：结论：AB+AF=2AF，
理由：∵CE=CF，AC=AC
∴△ACE≌△ACF
∴AE=AF，∵BE=DF．
∴AB+AD=AE-BE+AF+DF=2AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质；证明线段相等往往通过三角形全等来证明，还要运用相等的线段进行转移，这是很重要的方法，注意掌握．