Question

如图：在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（0，1），有一组抛物线L_n，它们的顶点C_n（X_n，Y_n）在直线AB上，并且经过点（X_n+1，0），当n=1，2，3，4，5…时，X_n=2，3，5，8，13…，根据上述规律，写出抛物线L₁的表达式为

 

，抛物线L₆的顶点坐标为

 

，抛物线L₆与x轴的交点坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：规律型

分析：根据A（-2，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为y=

1

2

x+1，因为顶点C₁的在直线AB上，C₁坐标可求；根据横坐标的变化规律可知，C₆的横坐标为21，代入直线AB的解析式y=

1

2

x+1中，可求纵坐标．

解答：解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．
则

-2k+b=0 b=1

，
解得

k= 1 2 b=1

，
∴直线AB的解析式为y=

1

2

x+1
∵抛物线L₁的顶点C₁的横坐标为2，且顶点在直线AB上，
∴y₁=

1

2

×2+1=2．
则C₁（2，2）．
故设抛物线L₁的表达式为y=a（x-2）²+2（a≠0）．
又∵该抛物线经过点（3，0），
∴0=a（3-2）²+2，
解得 a=-2．
故抛物线L₁的表达式为y=-2（x-2）²+2或y=-2x²+8x-6．
∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…
∴每个数都是前两个数的和
∴抛物线L₆的顶点C₆的横坐标为21，
则y₆=

1

2

×21+1=

23

2

．
∴抛物线L₆的顶点坐标为：（21，

23

2

）．
同理，由抛物线L₆经过点（22，0），求得该抛物线的解析式为：y=-

23

2

（x-2）²+

23

2

或y=-

23

2

x²+46x-

69

2

．
故答案是：y=-2（x-2）²+2或y=-2x²+8x-6；（21，

23

2

）；y=-

23

2

（x-2）²+

23

2

或y=-

23

2

x²+46x-

69

2

．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力．