Question

19．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，Rt△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列中能表示y与x之间的关系的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x²；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x²-2（x-1）²，配方得到y=-（x-2）²+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．

解答 解：当0＜x≤1时，y=x²，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD=x，则AD=2-x，
∵Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM=2-x，
∴EM=x-（2-x）=2x-2，
∴S_△ENM=$\frac{1}{2}$（2x-2）²=2（x-1）²，
∴y=x²-2（x-1）²=-x²+4x-2=-（x-2）²+2，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，（0＜x≤1）}\\{-（x-2）^{2}+2，（1＜x≤2）}\end{array}\right.$．
故选：B．

点评 本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．