Question

9．设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．
（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O（0，0）到⊙P的距离为4；
（2）求点M（3，0）到直线y=2x+1的距离；
（3）如果点N（0，a）到直线y=2x+1的距离为3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理可得点O（0，0）到⊙P的距离；
（2）过点M作MH⊥l，垂足为点H，通过证明△EOF∽△MHE，由相似三角形的性质可得MH=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，从而得到点M到直线y=2x+1的距离；
（3）分两种情况：N在F点的上边；N在F点的下边；进行讨论先得到EN的长，进一步即可得到a的值．

解答 解：（1）OP=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
点O（0，0）到⊙P的距离为5-1=4；
故答案为：4；
（2）直线y=2x+1记为l，如图1，过点M作MH⊥l，垂足为点H，
设l与x，y轴的交点分别为E，F，则E（-$\frac{1}{2}$，0），

∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∵△EOF∽△EHM，
∴$\frac{MH}{OF}$=$\frac{ME}{EF}$，即$\frac{MH}{1}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$．
∴MH=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$；
∴点M到直线y=2x+1的距离为$\frac{7\sqrt{5}}{5}$．
（3）N在F点的上边，如图2，过点N作NG⊥l，垂足为点G，
∵△EOF∽△NGF，
∴$\frac{NG}{EO}$=$\frac{NF}{EF}$，即$\frac{3}{\frac{1}{2}}$=$\frac{a-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
∴a=1+3$\sqrt{5}$；
N在F点的下边，
同理可得a=1-3$\sqrt{5}$；
故a=1±3$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：勾股定理，相似三角形的判定和性质，根与判别式的关系，两点间的距离公式，方程思想，分类思想，综合性较强，有一定的难度．