Question

8．如图（1），抛物线 y=-$\frac{3}{16}$x²平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）直接写出阴影部分的面积 S_阴影；
（3）如图（2），直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点（点M不与点A，O重合 ），∠PMN为直角，MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：t为何值时，△MAN为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）利用交点式写出平移后的抛物线解析式；
（2）如图1，连接OB、OD，先通过配方法可得到B（4，3），再确定D（4，-3），利用对称性可得到阴影部分的面积 S_阴影=S_△OBD，然后根据三角形面积公式求解；
（3）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6，作NQ⊥x轴于Q，如图2，易得P（0，6），AP=10，再证明△MPO∽△NMQ得到$\frac{OM}{NQ}$=$\frac{OP}{MQ}$，然后讨论：当NM=NA时，MQ=AQ=$\frac{1}{2}$（8-t），则OQ=$\frac{1}{2}$t+4，接着利用一次函数图象上点的坐标表示出NQ=-$\frac{3}{8}$t+3，则利用相似比得到$\frac{t}{-\frac{3}{8}t+3}$=$\frac{6}{\frac{1}{2}（8-t）}$，解方程求出满足条件的t的值；当AM=AN时，AN=AM=8-t，证明△ANQ∽△APO，利用相似比可得到NQ=$\frac{3}{5}$（8-t），AQ=$\frac{4}{5}$（8-t），则MQ=8-t-$\frac{4}{5}$（8-t）=$\frac{8-t}{5}$，然后利用相似比得到$\frac{t}{\frac{3}{5}（8-t）}$=$\frac{6}{\frac{8-t}{5}}$，解方程确定满足条件的t的值；当MA=MN时，由于∠OAP＜45°，则∠MNA=∠NAM＜45°，原式可判断∠AMN＞90°，显然不成立，所以当t为$\frac{9}{2}$时，△MAN为等腰三角形．

解答 解：（1）平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{3}{16}$x（x-8），
即y=-$\frac{3}{16}$x²+$\frac{3}{2}$x；
（2）如图1，连接OB、OD，
y=-$\frac{3}{16}$（x-4）²+3，则B（4，3）
平移后的抛物线的对称轴为直线x=4，
当x=4时，y=-$\frac{3}{16}$x²=-3，则D（4，-3），
∴点B与点D关于x轴对称，
∴阴影部分的面积 S_阴影=S_△OBD=$\frac{1}{2}$×3×（4+4）=12；
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），B（4，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6，
作NQ⊥x轴于Q，如图2，P（0，6），AP=10，
∵∠PMN为直角，
∴∠PMO+∠QMN=90°，
而∠PMO+∠MOP=90°，
∴∠QMN=∠MOP，
∴△MPO∽△NMQ，
∴$\frac{OM}{NQ}$=$\frac{OP}{MQ}$，
当NM=NA时，MQ=AQ=$\frac{1}{2}$（8-t），
∴OQ=8-$\frac{1}{2}$（8-t）=$\frac{1}{2}$t+4，
当x=$\frac{1}{2}$t+4时，y=-$\frac{3}{4}$（$\frac{1}{2}$t+4）+6=-$\frac{3}{8}$t+3；
∴$\frac{t}{-\frac{3}{8}t+3}$=$\frac{6}{\frac{1}{2}（8-t）}$，解得t₁=8（舍去），t₂=$\frac{9}{2}$；
当AM=AN时，AN=AM=8-t，
∵NQ∥OP，
∴△ANQ∽△APO，
∴$\frac{NQ}{OP}$=$\frac{AQ}{AO}$=$\frac{AN}{AP}$，即$\frac{NQ}{6}$=$\frac{AQ}{8}$=$\frac{8-t}{10}$，
∴NQ=$\frac{3}{5}$（8-t），AQ=$\frac{4}{5}$（8-t），
∴MQ=8-t-$\frac{4}{5}$（8-t）=$\frac{8-t}{5}$，
∴$\frac{t}{\frac{3}{5}（8-t）}$=$\frac{6}{\frac{8-t}{5}}$，解得t₁=8（舍去），t₂=18（舍去；
当MA=MN时，
∵∠OAP＜45°，
∴∠MNA=∠NAM＜45°，
∴∠AMN＞90°，显然不成立，
综上所述，当t为$\frac{9}{2}$时，△MAN为等腰三角形．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求抛物线的解析式；能运用相似比表示线段之间的关系；会应用分类讨论的思想解决数学问题．