Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P，Q是边AC，BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿AC，BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1个单位，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动，在运动过程中△APD和△QBE是否保持全等？判断并说明理由；
（2）若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t为何值时，△APD和△QBE全等？

Answer 1

分析 （1）根据∠C=90°，PD⊥AB，QE⊥AB，于是得到∠A+∠APD=∠A+∠B=90°，证得∠APD=∠B，∠ADP=∠QEB=90°，即可得到结论；
（2）分两种情况：①0≤t$＜\frac{8}{3}$时，点P从C到A运动，则AP=AC=CP=8-3t，BQ=t，求得t=2，②t$≥\frac{8}{3}$时，点P从A到C运动，则AP=3t-8，BQ=t，求得t=4．

解答 解：（1）△ADP≌△QBE，
理由：∵∠C=90°，PD⊥AB，QE⊥AB，
∴∠A+∠APD=∠A+∠B=90°，
∴∠APD=∠B，∠ADP=∠QEB=90°，
∵AP=BQ=t
，在△ADP与△QBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠B}\\{∠ADP=∠QEB}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△QBE；

（2）①0≤t$＜\frac{8}{3}$时，点P从C到A运动，则AP=AC=CP=8-3t，BQ=t，
当△ADP≌△QBE时，
则AP=BQ，
即8-3t=t，解得：t=2，
②t$≥\frac{8}{3}$时，点P从A到C运动，则AP=3t-8，BQ=t，
当△ADP≌△QBE时，
则AP=BQ，
即3t-8=t，
解得：t=4，
综上所述：当t=2s或4s时，△ADP≌△QBE．

点评 本题考查了全等三角形的判定，解方程，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．