已知正方形ABCD.顶点A与坐标原点重合.顶点B.D分别在x轴和y轴的正半轴上.顶点C在反比例函数y=$\frac{16}{x}$的图象上.如图所示.动点P以每秒1个单位的速度从A点出发沿AB方向运动.动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC-CB-BA方向顺时针折线运动.当点P与点Q相遇时停止运动.设点P的运动时间为t．(1)求该正方形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

已知正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，顶点B、D分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C在反比例函数y=$\frac{16}{x}$（x＞0）的图象上，如图所示，动点P以每秒1个单位的速度从A点出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC-CB-BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）求该正方形的边长；
（2）当点Q在边CB上运动时，用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积S，并求出自变量t的取值范围；
（3）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标．

分析（1）设点C的坐标为（a，a），将其代入反比例函数解析式即可得到a=4；
（2）分点Q在CD，BC，AB边上，由三角形面积公式和组合图形的面积计算即可求解；
（3）分点Q在CD，BC，AB边上，根据全等三角形的判定和性质求得点Q的坐标．

解答解：（1）设点C的坐标为（a，a）（a＞0），则
a=$\frac{16}{a}$，
解得a=4．
即点C的坐标是（4，4），
所以正方形的边长为4；

（2）当0＜t≤1时，Q在DC上，DQ=4t，则S=$\frac{1}{2}$×4t×4=8t；
当1≤t≤2时，Q在BC上，则BP=4-t，CQ=4t-4，AP=t，
则S=S_{正方形ABCD}-S_△APD-S_△BPQ-S_△CDQ=16-$\frac{1}{2}$AP•AD-$\frac{1}{2}$PB•BQ-$\frac{1}{2}$DC•CQ=16-$\frac{1}{2}$t×4-$\frac{1}{2}$（4-t）•[4-（4t-4）]-$\frac{1}{2}$×4（4t-4）=-2t²+2t+8；
当2≤t≤$\frac{12}{5}$时，Q在AB上，PQ=12-5t，则s=$\frac{1}{2}$×4×（12-5t），即S=-10t+24．
总之，S=$\left\{\begin{array}{l}{8t（0＜t≤1）}\\{-2t2+2t+8（1≤t≤2）}\\{-10t+24（2≤t≤\frac{12}{5}）}\end{array}\right.$；

（3）当Q在DC上时，如图所示：

此时△APD≌△CQB，
∴AP=CQ，即t=4-4t，解得t=$\frac{4}{5}$，
则DQ=4t=$\frac{16}{5}$，即Q₁（$\frac{16}{5}$，4）；
当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：

若Q在上边，则△QCD≌△PAD，
∴AP=QC，即4t-4=t，解得t=$\frac{4}{3}$，
则QB=8-4t=$\frac{8}{3}$，此时Q₂（4，$\frac{8}{3}$）；
若Q在下边，则△APD≌△BQA，
则AP=BQ，即8-4t=t，解得t=$\frac{8}{5}$，
则QB=$\frac{8}{5}$，即Q₃（4，$\frac{8}{5}$）；
当Q在AB边上时，如图所示：

此时△APD≌△QBC，
∴AP=BQ，即4t-8=t，解得t=$\frac{8}{3}$，
因为0≤t≤$\frac{12}{5}$，所以t=$\frac{8}{3}$不合题意，舍去．
综上所述Q₁（$\frac{16}{5}$，4）； Q₂（4，$\frac{8}{3}$），Q₃（4，$\frac{8}{5}$）．