Question

9．在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，延长AE交DC的延长线于点F，连接AC、BF．
（1）如图1，求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）如图2，连接DE交AC于点G，若DE⊥AF，∠ADE=30°，判断四边形ABFC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形ABFC是平行四边形，只需推知AE=EF即可；
（2）首先推知四边形ABFC为平行四边形，证出BC=AF，即可得出四边形ABFC是矩形．

解答 （1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠EFC，
∵E为BC的中点，
∴BE=EC，
在△ABE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠EFC}\\{∠AEB=∠FEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AE=EF．
又∵BE=CE，
∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）结论：四边形ABFC是矩形．
理由：∵DE⊥AF，AE=EF，
∴DE是AF的垂直平分线，
∴AD=DE，
∴∠ADF=2∠ADE=60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴AF=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴BC=AF，
∴平行四边形ABFC是矩形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定．本题综合性强，难度适中，证明三角形全等和平行四边形是解决问题的关键．