Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0），B（5，0），C（0，5）三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）当x取何值时，二次函数y=ax²+bx+c中的y随x的增大而增大？
（3）若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出 BCE的面积S的值；
（4）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设抛物线y=ax²+bx+c=a（x-1）（x-5），把C的坐标代入求出即可；
（2）把抛物线的解析式化成顶点式，求得对称轴，根据抛物线的性质即可求得x的取值；
（3）求出E的坐标，把C（0，5），E（4，-3）代入y=kx+b得到方程组，求出方程组的解即可得到一次函数的解析式，求出直线与X轴的交点，根据三角形的面积公式求出即可；
（4）求出抛物线的顶点坐标，根据线段的垂直平分线性质和等腰三角形的性质求出即可．

解答：解：（1）∵A（1，0），B（5，0），
设抛物线y=ax²+bx+c=a（x-1）（x-5），
把C（0，5）代入得：5=a（0-1）（0-5），
解得：a=1，
∴y=（x-1）（x-5）=x²-6x+5，
即抛物线的函数关系式是y=x²-6x+5．

（2）∵y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴抛物线的对称轴为x=3，
又∵二次函数y=x²-6x+5的二次项系数为1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x≥3时y随x的增大而增大；

（3）把x=4代入y=x²-6x+5得：y=-3，
∴E（4，-3），
把C（0，5），E（4，-3）代入y=kx+b得：

b=5 4k+b=-3

，
解得：k=-2，b=5，
∴y=-2x+5，
设直线y=-2x+5交x轴于D，
当y=0时，0=-2x+5，
∴x=

5

2

，
∴OD=

5

2

，
BD=5-

5

2

=

5

2

，
∴S_△CBE=S_△CBD+S_△EBD=

1

2

×

5

2

×5+

1

2

×

5

2

×|-3|=10，

（4）存在点P使得△ABP为等腰三角形，这样的点P共有7个；
∵抛物线的顶点P（3，-4）既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，
∴点P（3，-4）为所求满足条件的点．
除P点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．
理由如下：
∵AP=BP=

22+42

=2

5

＞4，
∴分别以A、B为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B、P₁、P₂、P₃、A、P₄、P₅、P₆，除去B、A两个点外，其余6个点为满足条件的点．

点评：本题主要考查对线段的垂直平分线性质，等腰三角形的性质，抛物线的性质，三角形的面积，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．