Question

20．如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．
（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；
（2）请直接写出BG与GE的数量关系：BG=2GE．（不要求证明）

Answer 1

分析 （1）根据BE，CF是△ABC的中线可得EF是△ABC的中位线，P，Q分别是BG，CG的中点可得PQ是△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，PQ∥BC且PQ=$\frac{1}{2}$BC，进而可得EF∥PQ且EF=PQ．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）根据平行四边形的性质可得GE=GP，再根据P是BG的中点可得BG=2PG，利用等量代换可得答案．

解答 （1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC．
∵P，Q分别是BG，CG的中点，
∴PQ是△BCG的中位线，
∴PQ∥BC且PQ=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF∥PQ且EF=PQ．
∴四边形EFPQ是平行四边形． 
（2）解：BG=2GE．
∵四边形EFPQ是平行四边形，
∴GP=GE，
∵P是BG中点，
∴BG=2PG，
∴BG=2GE．
故答案为：BG=2GE．

点评 此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定与性质，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．