Question

15．已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+1-3m=0的两个实数根，且x₁、x₂满足不等式x₁•x₂+2（x₁+x₂）＞0，求实数m的取值范围是$\frac{1}{6}$≤m＜$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+1-3m=0的两个实数根，可推出△=（-2）²-4×2（1-3m）≥0，根据根与系数的关系可得x₁•x₂=$\frac{1-3m}{2}$，x₁+x₂=1；且x₁、x₂满足不等式x₁•x₂+2（x₁+x₂）＞0，代入即可得到一个关于m的不等式，由此可解得m的取值范围．

解答 解：∵方程2x²-2x+1-3m=0有两个实数根，
∴△=4-8（1-3m）≥0，解得m≥$\frac{1}{6}$．
由根与系数的关系，得x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{1-3m}{2}$．
∵x₁•x₂+2（x₁+x₂）＞0，
∴$\frac{1-3m}{2}$+2＞0，解得m＜$\frac{5}{3}$．
∴$\frac{1}{6}$≤m＜$\frac{5}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$≤m＜$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式：若方程有两个实数根，则△≥0，若方程没有实数根，则△＜0．以及一元二次方程根与系数的关系．