Question

如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ABC=∠OCB=60°，若BC=6，OC=4，求弦AB和⊙O半径的长．

Answer 1

考点：垂径定理,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：延长CO交AB于E，过O作OQ⊥AB于Q，连接OB，得出等边三角形EBC，求出OE，解直角三角形求出QE，OQ，根据勾股定理求出OB，即可得出答案．

解答：解：
延长CO交AB于E，过O作OQ⊥AB于Q，连接OB，
则由垂径定理得：AB=2BQ，
∵∠ABC=∠OCB=60°，
∴BE=CE，
∵BC=6，
∴三角形EBC是等边三角形，边长为6，
∴OE=6-4=2，BE=6，∠BEC=60°，
∵OQ⊥AB，
∴∠EQO=90°，
∴∠QOE=30°，
∴QE=

1

2

OE=1，OQ=

3

，
在Rt△OBQ中，BQ=6-1=5，OQ=

3

，由勾股定理得：OB=

52+( 3 )2

=2

7

，
即AB=2BQ=10，⊙O半径的长是2

7

．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，垂径定理，解直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．