Question

3．因式分解：
（1）（x²+xy+y²）²-4xy（x²+y²）
（2）（a²+1）²+（a²+5）²-4（a²+3）²．

Answer 1

分析 （1）本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
（2）根据完全平方公式以及多项式的计算法则对给出的多项式计算整理可得：-2a⁴-12a²-10，再利用提公因式法以及十字相乘法即可把多项式因式分解．

解答 解：（1）原式=[（x+y）²-xy]²-4xy[（x+y）²-2xy]．
令x+y=u，xy=v，则
原式=（u²-v）²-4v（u²-2v），
=u⁴-6u²v+9v²，
=（u²-3v）²，
=（x²+2xy+y²-3xy）²，
=（x²-xy+y²）²．
（2）原式=a⁴+2a²+1+a⁴+10a²+25-4a⁴-24a²-36，
=-2a⁴-12a²-10，
=-2（a⁴+6a²+5），
=-2（a²+1）（a²+5）．

点评 本题考查了分解因式，公式法分解因式以及提公因式法和十字相乘法分解因式，难度较大．熟练掌握运算法则和完全平方公式的结构特点是解题的关键．注意二元对称式，用换元法分解因式比较简便．