Question

12．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=ax+b的图象交于M（2，m）和N（-1，-4）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请判断点P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）观察图象：直接写出时当x在什么范围时，反比例函数值大于一次函数值；
（4）求△MON的面积．

Answer 1

分析 （1）把N的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把M的坐标代入求出M的坐标，把M、N的坐标代入一次函数y=ax+b即可求出一次函数的解析式；
（2）把点P（4，1）代入反比例函数的解析式即可判断；
（3）根据函数的图象和M、N的坐标即可得出答案；
（4）求出A的坐标，求出△AOM和△AON的面积，即可求出答案．

解答 解：（1）∵把N（-1，-4）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4，
∴反比例函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$，
∵M（2，m）代入反比例函数y=$\frac{4}{x}$得：m=2，
∴N的坐标是（2，2），
把M、N的坐标代入一次函数y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-4}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=-2，
∴一次函数的解析式是y=2x-2；
（2）把x=4代入y=$\frac{4}{x}$得，y=1，
∴点P（4，1）在这个反比例函数的图象上；
（3）从图象可知：当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围x＜-1或0＜x＜2；
（4）∵把y=0代入一次函数的解析式是y=2x-2得：0=2x-2，
解得x=1，
∴A（1，0），
△MON的面积S=S_AOM+S_△AON=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×1×4=3．

点评 本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想，题目比较好．