Question

10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为5．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先证明△DOE≌△OMC，得到OC=DE，CM=OE；其次证明BE=DE，求出OE，即可解决问题．

解答 解：如图，过点D作DE⊥OB于点E；
∵∠DEO=∠DOM=∠C，
∴∠DOE+∠COM=∠COM+∠CMO，
∴∠DOE=∠OMC；
由题意得：OD=OM；
在△DOE与△OMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOE=∠OMC}\\{∠DEO=∠OCM}\\{OD=OM}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△OMC（AAS），
∴DE=OC=1，CM=OE；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠BDE=45°，
∴BE=DE=1，OE=7-1-1=5，
∴CM=OE=5，
故答案为5．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．