Question

5．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx-2的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△BCP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以B、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由二次函数y=ax²+bx-2的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，直接利用待定系数法，即可求得这个二次函数的表达式；
（2）首先过点P作PE∥y轴，交BC于点D，交x轴于点E，然后求得直线BC的解析式，即可由S_△BCP=S_△PCD+S_△PBD=$\frac{1}{2}$PD•OE+$\frac{1}{2}$PD•BE=$\frac{1}{2}$PD（OE+BE）=$\frac{1}{2}$PD•OB，求得答案；
（3）分别从BC是边与对角线去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-2的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{9a+3b-2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴这个二次函数的表达式为：y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2；

（2）存在．
如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于点D，交x轴于点E，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵C（0，-2），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x-2，
设P（x，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2），则点D（x，$\frac{2}{3}$x-2），
∴S_△BCP=S_△PCD+S_△PBD=$\frac{1}{2}$PD•OE+$\frac{1}{2}$PD•BE=$\frac{1}{2}$PD（OE+BE）=$\frac{1}{2}$PD•OB=$\frac{1}{2}$×[$\frac{2}{3}$x-2-（$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2）]×3=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，使△BCP的面积最大，
∴点P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；

（3）存在．
若BC是边，如图2，
则BC∥MQ，BC=MQ，
过点M作MH⊥x轴，
∴△MQH≌△BOC，
∴MH=OC=2，QM=OB=3，
∴当y=2时，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2=2，
解得：x=1±$\sqrt{7}$，
∴Q₁的横坐标为：1+$\sqrt{7}$-3=$\sqrt{7}$-2，Q₂的横坐标为：1-$\sqrt{7}$-3=-2-$\sqrt{7}$，
∴Q₁（$\sqrt{7}$-2，0），Q₂（-2-$\sqrt{7}$，0）；
若BC为对角线，如图3，
则BQ∥CM，BQ=CM，
∵M（2，-2），
∴CM=2，
∴BQ=2，
∴OQ=1，
∴Q₃（1，0），
BC为平行四边形的边时，则BQ∥CM，BQ=CM，
∵M（2，-2），
∴CM=2，
∴BQ=2，
∴OQ=5，
∴Q₄（5，0），

综上，Q₁（$\sqrt{7}$-2，0），Q₂（-2-$\sqrt{7}$，0），Q₃（1，0），Q₄（5，0）．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数的最值问题以及平行四边形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．