Question

17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若E为AB中点，求∠B的度数．

Answer 1

分析 （1）由角平分线得出∠CAD=∠EAD，再由∠DEA=∠C和公共边，根据AAS证明△ACD≌△AED即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得出AD=DB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠EAD，因此∠CAD+∠EAD+∠B=90°，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠DEA=∠C，
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}&{\;}\\{∠C=∠DEA}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（AAS）．
（2）解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD=DB，
∴∠B=∠EAD，
∵∠CAD=∠EAD，
∴∠CAD=∠EAD=∠B，
∵∠CAD+∠EAD+∠B=90°，
∴∠B=30°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．