Question

11．如图，⊙O是△ABD的外接圆，在⊙O外取点C，使得∠BCD=∠BAD，且∠BDC=90°，若∠ADB=30°，求证：BC=2AB．

Answer 1

分析 作直径BE，连接DE、OA，根据圆周角定理证明△AOB是等边三角形，得到AB=$\frac{1}{2}$BE，证明△BDE≌△BDC，得到BC=BE，证明结论．

解答 证明：作直径BE，连接DE、OA，
∠AOB=2∠ADB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°，
∵∠BED=∠BAD，∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=∠BED．
在△BDE和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠BCD}\\{∠BDE=∠BDC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BDC，
∴BC=BE，
∴BC=2AB．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心的概念和性质、圆周角定理，正确作出辅助线、灵活运用圆周角定理和三角形全等的判定定理是解题的关键．