Question

3．如图，已知MNPQ为平行四边形，在QP的延长线上任取-点S，直线MS与NQ交于点T，与NP交于点R．求证：$\frac{1}{MR}+\frac{1}{MS}=\frac{1}{MT}$．

Answer 1

分析 由四边形MNPQ平行四边形，得到QM∥PN，推出△SPR∽△SQM，△TRN∽△QMT，于是得到$\frac{SR}{MS}=\frac{PR}{QM}$，$\frac{RT}{MT}=\frac{RN}{QM}$，两式相加得$\frac{SR}{MS}+\frac{RT}{MT}=\frac{PR}{QM}+\frac{RN}{QM}$，通过化简即可得到结论．

解答 解：∵四边形MNPQ平行四边形，
∴QM∥PN，
∴△SPR∽△SQM，△TRN∽△QMT，
∴$\frac{SR}{MS}=\frac{PR}{QM}$，$\frac{RT}{MT}=\frac{RN}{QM}$，
∴$\frac{SR}{MS}+\frac{RT}{MT}=\frac{PR}{QM}+\frac{RN}{QM}$，
∴$\frac{SR}{MS}+\frac{RT}{MT}=1$，
∴$\frac{MS-MR}{MS}$+$\frac{MR-MT}{MT}$=-$\frac{MR}{MS}$+$\frac{MR}{MT}$=1，
∴$\frac{1}{MR}+\frac{1}{MS}=\frac{1}{MT}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．