Question

19．阅读理解：
把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．
（1）请写出一个六位连接数123123，它能（填“能”或“不能”）被13整除．
（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．
（3）若一个四位连接数记为M，它的各位数字之和的3倍记为N，M-N的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？

Answer 1

分析 （1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；
（2）设$\overline{abc}$$\overline{abc}$为六位连接数，将$\overline{abc}$$\overline{abc}$进行因数分解，判断得出它能被13整除；
（3）设$\overline{xyxy}$为四位连接数，用含x、y的代数式表示M与N，再计算M-N，然后将$\frac{M-N}{13}$表示为77x+7y+$\frac{3x+4y}{13}$，根据M-N的结果能被13整除以及M与N都是1～9之间的整数，求得x与y的值，即可求解．

解答 解：（1）123123为六位连接数；
∵123123=123×1001=123×13×77，
∴123123能被13整除；

（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：
设$\overline{abc}$$\overline{abc}$为六位连接数，
∵$\overline{abc}$$\overline{abc}$=$\overline{abc}$×1001=$\overline{abc}$×13×77，
∴$\overline{abc}$$\overline{abc}$能被13整除；

（3）设$\overline{xyxy}$为四位连接数，
则M=1000x+100y+10x+y=1010x+101y，N=3（x+y+x+y）=6x+6y，
∴M-N=（1010x+101y）-（6x+6y）=1004x+95y，
∴$\frac{M-N}{13}$=$\frac{1004x+95y}{13}$=77x+7y+$\frac{3x+4y}{13}$，
∵M-N的结果能被13整除，
∴$\frac{3x+4y}{13}$是整数，
∵M与N都是1～9之间的整数，
∴x=1，y=9；x=2，y=5；x=3，y=1；
∴这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个．

点评 本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．