Question

如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：由四边形ABCD是正方形，易求得△AMD∽△CMF与△AEN∽△CDN，又由E和F分别是AB和BC的中点，根据相似三角形的对应边成比例，易求得AN=MN=CM，然后利用等高三角形面积的比等于底的比，即可求得△DMN的面积，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得△AEN与△CFM的面积，继而求得阴影部分的面积．

解答：解：设DE，DF分别交AC于N，M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，
∴△AMD∽△CMF，
∴

AM

CM

=

AD

FC

=

DM

FM

，
∵F是BC的中点，
∴AD=BC=2FC，
∴

AM

CM

=

AD

FC

=

DM

FM

=2，
同理：△AEN∽△CDN，
∵E是AB的中点，
∴

CN

AN

=

DC

AE

=

DN

EN

=2，
∴AN=MN=CM=

1

3

AC，
∵S_△ACD=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

×1=

1

2

，
∴S_△DMN=

1

3

S_△ACD=

1

3

×

1

2

=

1

6

，S_△ADM=

2

3

S_△ACD=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
∵

S△CFM

S△ADM

=(

FC

AD

)2=

1

4

，
∴S_△CFM=

1

4

×

1

3

=

1

12

，
同理：S_△AEN=

1

12

，
∴S阴影=S_{正方形ABCD}-S_△AEN-S_△CFM-S_△DMN=1-

1

12

-

1

12

-

1

6

=

2

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与正方形的性质．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于底的比与相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．