Question

如图，AC、BC是⊙O的两条弦，其中BC＞AC，半径OD⊥AB，DE⊥BC于E，
求证：AC+CE=BE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：证明题

分析：利用圆周角定理以及垂径定理得出∠DAB=∠DBA，进而得出△DFC≌△DEC（AAS），进而得出Rt△DFA≌Rt△DEB（SAS），进而得出答案．

解答：证明：连接AD，DB，CD，过点D作DF⊥AC于F，
∵OD⊥AB，∴DA=DB，

DA

=

DE

，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠FCD=∠DBA，∠DCB=∠DAB，
∴∠FCD=∠DCB，
而DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠F=∠CED，
在△DFC和△DEC中，

∠F=∠CDE ∠FCD=∠DCB CD=CD

，
∴△DFC≌△DEC（AAS），
∴FC=EC，DF=DE，
在Rt△DFA和Rt△DEB中，

DF=DE ∠DFC=∠DEB DA=DB

，
∴Rt△DFA≌Rt△DEB（SAS），
∴BE=AF=CA+CF=CA+AE．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，得出FC=EC，DF=DE，进而求出Rt△DFA≌Rt△DEB是解题关键．