题目内容

1．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（0，-1），点C（m，0）是x轴上的一个动点．

（1）如图1，△AOB和△BCD都是等边三角形，当点C在x轴上运动到如图所示位置时，连接AD，请证明△ABD≌△OBC；
（2）如图2，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，当点C在x轴上运动（m＞1）时，设点D的坐标为（x，y），请探求y与x之间的函数关系式；
（3）如图3，四边形ACEF是正方形，当点C在x轴上运动（m＞1）时，设点E的坐标为（x，y），请探求y与x之间的函数关系式．

分析 （1）由等边三角形的性质得到AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，从而判断出∠ABD=∠OBC即可；
（2））由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，得出$\frac{AO}{AB}=\frac{AD}{AC}$，从而得到三角形相似，即可；
（3）由DG∥EH，得到$\frac{AD}{AE}=\frac{AG}{AH}$=$\frac{DG}{EF}$，再利用正方形的性质即可．

解答 解：（1）∵△AOB和△BCD都是等边三角形，
∴AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠OBC，
在△ABD和△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=OB}\\{∠ABD=∠OBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD和△OBC，
（2）∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∵∠OAD=∠BAC，
∴△AOD∽△ABC，
∴∠AOD=∠ABC=135°为定值，
∴y与x之间的关系是y=x，
（3）如图，

连接AE，CF交于点D，设D（a，a），过点D作DG⊥y轴，过点E作EH⊥y轴于H，
∴DG∥EH，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AG}{AH}$=$\frac{DG}{EF}$，
∵点D是正方形ACEF的对角线交点，
∴AD=ED=$\frac{1}{2}$AE，
∴AG=a+1，AH=2a+2，DG=a，EH=2a，
∴OH=2a+1，
∴y=2a+1，x=2a，
∴y=x+1．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形，等腰直角三角形的性质，三角形的相似和全等的性质和判定，解本题的关键是判定三角形相似．

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