Question

13．如图1，△ABC是边长为6的等边三角形，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点A旋转，BD与CE所在的直线交于点F．
（1）如图（2）所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，且旋转角不大于60°，∠CFB的度数是多少？说明你的理由？
（2）当△ADE绕点A旋转时，若△BCF为直角三角形，线段BF的长为4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$（请直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AC=AB，∠EAD=∠CAB=60°，由点D、E分别是边AB、AC的中点，得到AE=AD，根据旋转的性质得到∠EAC=∠BAD，根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠ABD，推出A，B，C，F四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）∠CFB=60°，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠EAD=∠CAB=60°，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴AE=AD，
∵将△ADE绕点A旋转，BD与CE所在的直线交于点F，
∴∠EAC=∠BAD，
在△ACE与△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ACE=∠ABD，
∴A，B，C，F四点共圆，
∴∠CFB=∠CAB=60°；

（2）∵∠CFB=60°，∠BCF=90°，
∴∠CBF=30°，
∴BF=$\frac{BC}{cos30°}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∵∠CFB=60°，∠CBF=90°，
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=2$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．