Question

10．如图．双曲线y=$\frac{k}{x}$与直线y=x-2相交于A、B两点，点A的纵坐标为1．
（1）①直接写出B点坐标：（-1，-3）
    ②双曲线上有两点C、D（A、D在双曲线的同-支上），使四边形ABCD为平行四边形，则C（-3，-1），D（1，3）（直接写出结果）
（2）直接写出关于x的不等式：x-2-$\frac{k}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由A点在直线上且纵坐标为1可得其坐标，根据A点坐标可得双曲线解析式，由直线及双曲线解析式联立方程组，解方程组可得两交点坐标；
（2）根据双曲线的中心对称性可知，点B关于原点的对称点即为点D、点A关于原点的对称点即为点C，此时C、D均在双曲线上且AC、BD互相平分，即四边形ABCD是平行四边形，据此可得点C、D的坐标；
（3）结合图象，不等式x-2-$\frac{k}{x}$＜0的解就是对相同的x的值，反比例函数的图象在上边的部分，对应的x的范围．

解答 解：（1）∵点A的纵坐标为1，
∴将y=1代入y=x-2，得：1=x-2，解得：x=3，
则点A的坐标为（3，1），
将点A（3，1）代入y=$\frac{k}{x}$，得：k=3，
∴双曲线解析式为：y=$\frac{3}{x}$，
根据题意，$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（-1，-3）；

（2）∵点A（3，1）关于原点的对称点（-3，-1）也在双曲线上，
点B（-1，-3）关于原点的对称点（1，3）在双曲线上，
∴当点C坐标为（-3，-1）、点D坐标为（1，3）时，四边形ABCD是平行四边形；

（3）观察图象可知，当x＜-1或0＜x＜3时，x-2-$\frac{k}{x}$＜0．
故答案为：（1）-1，-3；（2）-3，-1；1，3．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标的方法，求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应的函数值的大小．