Question

17．数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．
图①是二次函数y=（x-a）²+$\frac{a}{3}$（a为常数）当a=-1、0、1、2时的图象．当a取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！
（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为y=$\frac{1}{3}$x；
（2）如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O₁、P₁．若点P₁到x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出抛物线的顶点坐标，根据待定系数法即可求得；
（2）根据平移的规律得出点O₁的坐标为 （ 3，1）或 （-27，-9），从而求得解析式．

解答 解：（1）∵当a=-1时，抛物线的顶点为（-1，-$\frac{1}{3}$），当a=0时，抛物线的顶点为（0，0），
∴设直线为y=kx，
代入（-1，-$\frac{1}{3}$）得，-$\frac{1}{3}$=-k，
解得k=$\frac{1}{3}$，
∴“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为y=$\frac{1}{3}$x，
故答案为y=$\frac{1}{3}$x．
（2）由题意得：点P₁的纵坐标为5或-5，
∴抛物线沿着直线向上平移了1个单位或向下平移了9个单位，
∴此时点O₁的纵坐标为1或-9，
代入直线y=$\frac{1}{3}$x求得横坐标为3或-27，
∴点O₁的坐标为 （ 3，1）或 （-27，-9），
∴平移后的二次函数的表达式为y=（x-3）²+1或y=（x+27）²-9．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，求得平移后O₁的顶点坐标是解题的关键．