如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形.那么称这条线段为这个三角形的特异线.称这个三角形为特异三角形．(1)如图1.△ABC是等腰锐角三角形.AB=AC.若∠ABC的角平分线BD交AC于点D.且BD是△ABC的一条特异线.则∠BDC=72度,(2)如图2.△ABC中.∠B=2∠C.线段AC的垂直平分线交AC于点D.交BC于点E．求证:AE是△ABC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB=AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC=72度；
（2）如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；
（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A=30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．

分析（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A，设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；
（2）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．
（3）如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意．

解答（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$ABC，
∵BD是△ABC的一条特异线，
∴△ABD和△BCD是等腰三角形，
∴AD=BD=BC，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，
∴∠BDC=72°，
故答案为：72；

（2）证明：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一条特异线．

（3）解：如图3，
当BD是特异线时
如果AB=BD=DC，
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，
如果AD=AC，DB=DC，
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，
如果AD=DB，DC=DB，
则ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合题意舍弃），
如图4中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，
则∠ABC=180°-20°-20°=140°，
当CD为特异线时，不合题意．
综上所述，符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．