Question

4．已知，点B是半径OA的中点，过点B作BC⊥OA交⊙O于点C．
（1）如图①，若BC=$\sqrt{3}$，求⊙O的直径；
（2）如图②，点D是$\widehat{AC}$上一点，求∠ADC的大小．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）在⊙O上取一点E，连接AC，CE，连接OC，解直角三角形求出∠AOC，根据圆周角定理求出∠E，根据圆内接四边形的性质求出即可．

解答 解：（1）
连接OC，
设OA=OC=R，则OB=AB=$\frac{1}{2}$R，
∵BC⊥OA，
∴∠CBO=90°，
由勾股定理得：OC²=BC²+OB²，
即R²=（$\sqrt{3}$）²+（$\frac{1}{2}$R）²，
解得：R=2，
即⊙O的直径是4；

（2）在⊙O上取一点E，连接AC，CE，连接OC，
由（1）可知：sin∠BOC=$\frac{BC}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BOC=60°，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∵A、E、C、D四点共圆，
∴∠ADC+∠E=180°，
∴∠ADC=150°．

点评 本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形等知识点，能正确做出辅助线是解此题的关键．