Question

2．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“对顶三角形”．如图2，∠ACO和∠DBO的平分线CP和BP相交于点P，并且与AB、CD分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）仔细观察，在图2中有3个以线段OC为边的“对顶三角形”；
（2）在图2中，若∠A=40°，∠D=50°，求∠P的度数．
（3）在图2中，若设∠A=α，∠D=β，∠ACP=∠PCD，∠ABP=∠PBD，试问∠P与∠A、∠D之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），并说明理由；
（4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360°．

Answer 1

分析 （1）根据“对顶三角形”的定义容易得出结果；
（2）由角平分线得出∠ACP=∠DCP，∠ABP=∠DBP，由三角形内角和定理和对顶角相等得出∠ACP+∠A=∠ABP+∠P，∠DCP+∠P=∠DBP+∠D，得出∠A-∠P=∠D-∠P，即可得出结果；
（3）由角平分线得出∠ACP=∠DCP，∠ABP=∠DBP，由三角形内角和定理和对顶角相等得出∠ACP+∠A=∠ABP+∠P，∠DCP+∠P=∠DBP+∠D，得出∠A-∠P=∠D-∠P，即可得出结论；
（4）由三角形的外角性质得出∠1=∠2+∠E，∠2=∠C+∠D，∴∠1=∠C+∠D+∠E，在四边形ABMF中，由四边形内角和即可得出结果．

解答 解：（1）在图2中有 3个以线段OC为边的“对顶三角形”；
故答案为：3；
（2）∵∠ACO和∠DBO的平分线CP和BP相交于点P，
∴∠ACP=∠DCP，∠ABP=∠DBP，
∵∠ACP+∠A=∠ABP+∠P，∠DCP+∠P=∠DBP+∠D，
∴∠A-∠P=∠D-∠P，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D），
∵∠A=40°，∠D=50°，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（40°+50°）=45°；  
 （3）∠P=$\frac{1}{2}$（α+β），理由如下：
∵∠ACO和∠DBO的平分线CP和BP相交于点P，
∴∠ACP=∠DCP，∠ABP=∠DBP，
∵∠ACP+∠A=∠ABP+∠P，∠DCP+∠P=∠DBP+∠D，
∴∠A-∠P=∠D-∠P，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D），
∴∠P=$\frac{1}{2}$（α+β）；
（4）如图所示：
由三角形的外角性质得：∠1=∠2+∠E，∠2=∠C+∠D，
∴∠1=∠C+∠D+∠E，
在四边形ABMF中，∠A+∠B+∠1+∠F=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

点评 本题是四边形综合题目，考查了角平分线定义、“对顶三角形”定义、三角形内角和定理、四边形内角和定理、三角形的外角性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和四边形内角和定理是解决问题的关键．