题目内容

如图，已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴的两个交点是A（4，0），B（1，0），与y轴的交点是C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的顶点是F，对称轴与AC的交点是N，P是在AC上方的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，交AC于M．若P点的横坐标是m．问：
①m取何值时，过点P、M、N、F的平面图形不是梯形？
②四边形PMNF是否有可能是等腰梯形？若有可能，请求出此时m的值；若不可能，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）由抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-
1
2
t2+
5
2
t-2，过D作y轴的平行线交AC于E．即可求得DE的长，继而可求得S△DCA=-（t-2）2+4，然后由二次函数的性质，即可求得点D的坐标及△DCA面积的最大值；
（3）首先设P（m，-
1
2
 m2+
5
2
m-2），由于PM⊥x轴，FN是对称轴，可得PM∥FN，当PM=FN时P、M、N、F的平面图是平行四边形，不是梯形，从而求出m的值为
3
2
，根据题意可知求得P点的关于二次函数的对称轴的对称点P′，正好与A点重合，所以只能构成等腰三角形，构不成等腰梯形．
解答：解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入y=ax2+bx-2，
得
16a+4b-2=0
a+b=0
，
解得：
a=-
1
2
b=
5
2
．
∴该抛物线的解析式为y=-
1
2
x2+
5
2
x-2．

（2）存在．
如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-
1
2
t2+
5
2
t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
则
n=-2
4m+n=0

解得：
m=
1
2
n=-2
，
由题意可求得直线AC的解析式为y=
1
2
x-2．
∴E点的坐标为（t，
1
2
t-2）．
∴DE=-
1
2
t2+
5
2
t-2-（
1
2
t-2）=-
1
2
 t2+2t．
∴S△DCA=S△CDE+S△ADE=
1
2
×DE×OA=
1
2
×（-
1
2
t2+2t）×4=-t2+4t=-（t-2）2+4．
∴当t=2时，S最大=4．
∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．

（3）存在．∵y=-
1
2
x2+
5
2
x-2=-
1
2
（x-
5
2
）2+
9
8
．
∴F（
5
2
，
9
8
）
①Ⅰ当P和F重合时，P、M、N、F成一条直线，不能构成梯形，此时m=
5
2
．
Ⅱ如图2，设P（m，-
1
2
m2+
5
2
m-2）（0＜m＜
5
2
）．作PM⊥x轴，FN是对称轴，
∴PM∥FN
∴当PM=FN时P、M、N、F的平面图是平行四边形，不是梯形．
由于N（
5
2
，-
3
4
），M（m，
1
2
m-2）
∴PM（-
1
2
m2+
5
2
m-2）-（
1
2
m-2）=-
1
2
m2+2m，
FN=
9
8
-（-
3
4
）=
15
8

当PM=FN时
即：-
1
2
m2+2m=
15
8
，解得m=
3
2
，m=
5
2
（舍去）
∴当m=
3
2
，m=
5
2
时过P、M、N、F的平面图形不是梯形．


（3）四边形PMNF可能是等腰梯形．
过抛物线上的点P′垂直于x轴的直线交AC于M′，
由于m=
3
2
时，四边形PMNF是平行四边形，所以PF=MN，
根据抛物线的对称性，当m=
7
2
时，有P′F=M′N，此时梯形P′FNM′是等腰梯形．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用
练习册系列答案
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解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1）5（x-1）≤3（x+1）；                  
（2）-2＜1-
1
5
x＜
3
5
；
（3）
5x-1＜3(x+1)
2x-1
3
-
5x+1
2
≤1
．
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①求证：
BF
CF
=
DN
CN
；
②若AB=5，BC=6，AC=4，当MN=FN时，请直接写出t的值．
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a
+
3b
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．

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