Question

20．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y=-x²+3x-2函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y=-x²+3x-2函数可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0求出a₂，b₂，c₂，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”；
（2）若函数y₁=x²-$\frac{4n}{3}$x+n与y₂=-x²+mx-3互为“旋转函数”，求（m+n）²⁰¹⁶的值；
（3）已知函数y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁、B₁、C₁，试证明经过点A₁、B₁、C₁的二次函数与函数y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）互为“旋转函数”．

Answer 1

分析 （1）根据“旋转函数”的定义求出a₂，b₂，c₂，从而得到原函数的“旋转函数”；
（2）根据“旋转函数”的定义得到-$\frac{4n}{3}$=m，-3+n=0，再解方程组求出m和n的值，然后根据乘方的意义计算；
（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A（1，0），B（-4，0），C（0，-2），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A₁（-1，0），B₁（4，0），C₁（0，2），则可利用交点式求出经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，再把y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断．

解答 （1）解：∵a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，
∴-1+a₂=0，b₂=3，-2+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=3，c₂=2，
∴函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”为y=x²+3x+2；
（2）解：根据题意得-$\frac{4n}{3}$=m，-3+n=0，解得m=-4，n=3，
∴（m+n）²⁰¹⁶=（-4+3）²⁰¹⁶=1；
（3）证明：当x=0时，y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=-2，则C（0，-2），
当y=0时，$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=0，解得x₁=1，x₂=-4，则A（1，0），B（-4，0），
∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，
∴A₁（-1，0），B₁（4，0），C₁（0，2），
设经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=a₂（x+1）（x-4），把C₁（0，2）代入得a₂•1•（-4）=2，解得a₂=-$\frac{1}{2}$，
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
而y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∴a₁+a₂=$\frac{1}{2}$+（-$\frac{1}{2}$）=0，b₁=b₂=$\frac{3}{2}$，c₁+c₂=-2+2=0，
∴经过点A₁、B₁、C₁的二次函数与函数y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）互为“旋转函数”．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．