Question

20．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，如果∠ABD与∠ACD的平分线的交点为P，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

• A． 在⊙O上
• B． 在⊙O内
• C． 在⊙O外
• D． 不能确定

Answer 1

分析 假设点P不在⊙O上，利用反证法来证明结论不成立．取$\widehat{AD}$的中点Q，由等弧的圆周角相等可知点Q也为∠ABD与∠ACD的平分线的交点，由P为∠ABD与∠ACD的平分线的交点可得出BQ、CQ重合，即点B、C重合，由此得出结论不成立．即点P肯定在⊙O上．

解答 解：点P在⊙O上，用反证法来说明．
假设点P不在⊙O上，取$\widehat{AD}$的中点Q，如图所示．

∵点Q为$\widehat{AD}$的中点，
∴$\widehat{AQ}=\widehat{DQ}$，
∴∠ABQ=∠DBQ=∠ACQ=∠DCQ，
∴点Q也为∠ABD与∠ACD的平分线的交点．
∵点P不在⊙O上，且点P为∠ABD与∠ACD的平分线的交点，
∴BQ与CQ重合，即点B与点C重合．
∵点B、C为圆上不同的点，
故结论不成立．
由此得出点P在⊙O上．
故选A．

点评 本题考查了点与圆的位置关系、圆心角的性质以及反证法，解题的关键是：当点P不在⊙O上时，点B、C重合．本题属于基础题，难度不大，结论好找到，但证明过程稍显复杂，此处用到了反证法，通过点P不在⊙O上时，找到点B、C重合得出结论错误．